المفاهيم ... التعميمات ... المهارات ... المسائل الرياضية

إن تصنيف المعرفة الرياضية إلى مفاهيم ، وتعميمات ، ومهارات ، ومسائل يعتبر تصنيفاً عملياً وقابلاً للتطبيق في مجال تنظيم المحتوى الرياضي للمنهج . وهو بالإضافة إلى ذلك تصنيف عملي في مجال تدريس الرياضيات على مستوى الوحدات والفصول والحصص الصفية ، وفي وضع الأهداف التدريسية على المستويات المختلفة .

المفهوم الرياضي ...

من أهم ما تتميز به الرياضيات الحديثة أنها ليست مجرد عمليات روتينية منفصلة أو مهارات ، بل هي أبنية محكمة يتصل بعضها ببعض اتصالاً وثيقاً مشكلة في النهاية بنياناً متكاملاً متيناً واللبنات الأساسية لهذا البناء هي المفاهيم الرياضية .

يستخدم الكثيرون ، ومنهم المعلمون ، كلمة المفهوم بشكل غير محدد أو واضح ، بحيث لا يستطيع المرء أن يتبين المقصد من وراء استخدامهم لهذا المصطلح سوى كونه " شيئاً من المعرفة يراد الإشارة إليه " . فالمعلم الذي يضمن خطته التدريسية " تعليم العدد الأولي " يرى أن الهدف يتحقق عندما يميز الطلبة بين العدد الأولي والعدد غير الأولي ، بينما يرى آخر أن الهدف يتعدى ذلك إلى تعريف العدد الأولي . ويرى غيرهما أن الهدف يتحقق عندما يتمكن الطلبة من تحليل العدد إلى عوامله الأولية .

لا يوجد تعريف جامع أو متفق عليه للمفهوم ، وقد جرت محاولات كثيرة من قبل العلماء لتعريف المفهوم ، إلا انهم وجدوا صعوبة كبيرة في ذلك ، واختلفوا في تعريفاتهم لعدم وجود معلومات كافية عن تكوين المفاهيم واستخداماتها . وقد أورد هندرسون ( Henderson, 1970 ) تعريفات مختلفة للمفهوم ، منها :

* " المفهوم هو الصفة المجردة المشتركة بين جميع أمثلة ذلك المفهوم "

أي أن المفهوم يوجد حيثما وجد شيئان ( أو اكثر ) متميزان ، أو حيثما وجدت حوادث مصنفة معاً ومنفصلة عن الأشياء الأخرى على أساس بعض الملامح المشتركة بينها أو وجود الخاصية المشتركة لها . ويمكن وضع الأشياء أو الحوادث ضمن فصيلة واحدة على أساس صفاتها المعيارية ، وتعطى هذه الفصيلة اسماً هو في العادة مصطلح المفهوم .

* المفهوم قاعدة لاتخاذ قرار أو حكم ، عندما تطبق على مواصفات أو خصائص شيء ما نستطيع أن نحدد فيما إذا كان بالإمكان إعطاء التسمية ( المصطلح ) لذلك الشيء ، أو عدم إعطائه هذه التسمية .

كما يعرف المفهوم على أنه مجموعة من الأشياء المدركة بالحواس ، أو الأحداث التي يمكن تصنيفها مع بعضها البعض على أساس الخصائص المشتركة والمميزة ، ويمكن أن يشار إليها باسم أو رمز خاص .

أمثلة على المفاهيم :

العدد الطبيعي ، العدد النسبي ، العدد المركب ، الزمرة ، المساواة ، مفهوم " أكبرمن " ، مفهوم " الصدق " في التقارير الرياضية ، الاتصال ، المعين ، شبه المنحرف ، الدائرة .

التعميم الرياضي ...

إن النظر إلى مجموعة العناصر التي تشترك ببعض الصفات المحددة ، ومعاملتها كصنف واحد ، والاستجابة لها استجابات متشابهة هو التعميم بذاته . فالتعميم الرياضي هو عبارة رياضية ( جملة خبرية ) تنطبق على مجموعة من الأشياء ، أو هو توسيع لعبارة بسيطة لتصبح عبارة أعم وأشمل ، في حين تكون العبارة البسيطة حالة خاصة منها . وقد يعرف التعميم الرياضي على انه عبارة ( جملة خبرية ) تحدد علاقة بين مفهومين أو أكثر من المفاهيم الرياضية .

والتعميمات الرياضية هي في معظمها ، عبارات رياضية يتم برهنتها ، أو استنباطها واكتشافها ، وبعضها الآخر عبارات يسلم بصحتها ( المسلمات و البديهيات ) .

فالنظريات هي تعميمات رياضية ، ومن أمثلتها :

مجموع قياسات زوايا المثلث في هندسة اقليدس يساوي 180ْ
طول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث يساوي طول الضلع الثالث ، وتوازيه

والقوانين الرياضية هي تعميمات رياضية ، ومن أمثلتها :

قانونا ديمورغان في المجموعات .
قانون توزيع الضرب على الجمع .

والمسلمات في الرياضيات ، وكذلك البديهيات هي تعميمات رياضية ، ومن أمثلتها :

يمكن رسم مستقيم وحيد يصل بين نقطتين مفروضتين
إذا أضيفت أشياء متساوية لشيء واحد كانت النواتج متساوية .

يلاحظ من الأمثلة السابقة ، كيف أن كل تعميم رياضي حدد علاقة بين مجموعة من المفاهيم أو الرموز ، وكيفية ارتباط هذه المفاهيم بعضها ببعض .

فالتعميم : " كل عدد نسبي يمكن كتابته بصورة كسر عشري منتهي ، أو كسر عشري دوري " ، يتضمن المفاهيم التالية : عدد نسبي ، كسر عشري منتهي ، كسر عشري دوري .

ومن غير المعقول أن يتعلم الطالب هذا التعميم إلا إذا كان قد تعلم أصلاً المفاهيم المكونة له . أي أن المتطلبات السابقة لتعلم المبادئ والتعميمات هي تعلم المفاهيم التي تكون هذه المبادئ والتعميمات .

المهارات الرياضية ...

في كل مرحلة من المراحل التعليمية يكتسب الطالب المعرفة لكيفية عمل شيء ما . فمثلاً يتعلم كيف يقسم عدداً مكوناً من ثلاث منازل أو أكثر على عدد آخر مكون من منزلتين أو أكثر ، أو يستخرج الجذر التربيعي لعدد ، ويتعلم أيضاً كيف ينصف قطعة مستقيمة أو يقيم عموداً عليها من منتصفها ، أو يضرب مقداراً جبرياً في مقدار جبري آخر . مثل هذه الأشياء يطلق عليها مهارات . والطالب في قيامه بكل هذه الأعمال يستند على طريقة ما أو إجراءات معينة تسمى خوارزميات . وتعرف الخوارزمية بأنها الطريقة الروتينية للقيام بعمل ما . أما المهارة فهي القيام بالعمل بسرعة ودقة وإتقان . وغالباً ما يرتبط هذا العمل بخوارزمية تحدد أسلوب العمل وإجراءاته . ومن الأمثلة على الخوارزميات : خوارزمية الضرب ، خوارزمية القسمة ، خوارزمية استخراج الجذر التربيعي ، خوارزمية إيجاد القاسم المشترك الأكبر أو المضاعف المشترك الأصغر ، إلى غير ذلك .

ومن الخصائص المميزة للمهارات السرعة والدقة والإتقان في الأداء . فالمهارة هي قدرة من قدرات الإنسان على القيام بعمل ما ، وتتصف هذه القدرة بالسرعة والدقة ، فنقول مثلاً إن طالباً يجد مفكوك مقدار جبري ذي حدين بسرعة ودقة .

ويلعب تعليم المهارات الرياضية دوراً مهماً في تدريس الرياضيات ، فإذا لم يطور الطالب ويحسن مهارته في أداء بعض الأعمال ويكتسب بعض المهارات فان ذلك سيعيق تعلمه للرياضيات .

المسائل الرياضية ...

يعتبر حل المسألة الرياضية من أهم المواضيع التي شغلت العاملين في مجال تدريس الرياضيات والمهتمين بها وبطرق تدريسها . والمسألة موقف جديد ومميز يواجه الفرد ولا يكون له عند الفرد حل جاهز في حينه .

والشائع أن المسألة تتكون من سؤال يحتاج إلى إجابة ، علماً بأنه ليس كل سؤال يحتاج إلى إجابة هو مسألة ، فمثلاً :

يبيع أحد المحلات التجارية البضاعة بخصم 20% لزبائنه ، فبكم يشتري أحد الزبائن بدلة سعرها 35 ديناراً ؟

مثل هذا السؤال يعد مسألة لطالب المرحلة الابتدائية ، ولكنه ليس كذلك بالنسبة لطالب المرحلة الثانوية .

لذلك فاعتبار سؤال ما مشكلة أو مسألة يعتمد على المعرفة التي يمتلكها الفرد . فقد يجيب أحد الأشخاص على سؤال ما بطريقة روتينية مألوفة ، بينما يحتاج آخر إلى التفكير ملياً إذا كانت معرفته لا تقدم له طريقة للإجابة عن ذلك السؤال . وما هو مسألة عند فرد معين اليوم قد لا يكون كذلك في الغد . وقد لا يشكل نفس الموقف بالنسبة لاثنين يمتلكان نفس الخبرات مسألة .

وبتعليم حل المسألة يشجع المعلم الطلاب على اختيار المفاهيم والتعميمات المناسبة واستخدام المهارات المكتسبة .

وحل المشكلات ليس ببساطة تطبيق القوانين المتعلمة سابقاً ولكنه أيضاً عملية تنتج تعلماً جديداً . فعندما يوضع المتعلم في موقف مشكل ، فانه يحاول استدعاء القوانين المتعلمة سابقاً في محاولة لإيجاد حل ، وفي تنفيذ هذا يقوم بعمليات تفكيرية ، فيجرب عدداً من الفروض ويختبر ملاءمتها ، وعندما يجد ترابطاً خاصاً للقوانين ملائماً للموقف فانه لا يحل المشكلة فقط بل يتعلم أيضاً شيئاً جديداً ، وينتج عن ذلك تعلم استراتيجيات عالية تتميز عن غيرها من المقدرات بقابليتها للانتقال الواسع في مواقف أخرى .