البنية الرياضية

أصبحت دراسة الرياضيات تقوم على مفهوم المجموعة والهيكل ( البنية ) أي مجموعة من العناصر ، وهيكل ( بنية ) مبني على هذه المجموعة . إذاً البنية في الرياضيات عبارة عن مجموعة من العناصر ، وعلى هذه المجموعة نضع هيكلا ، أي مجموعة من القواعد والعلاقات تحدد طرق العمل ، وهذه القواعد تقودنا إلى دراسة الخصائص والقوانين المشتقة منها . والقوانين أو طرق العمل قد تكون علاقات تعرف على عناصر المجموعة ، أو عملية ثنائية أو اكثر ، ولهذه العمليات أو العلاقات خصائص معينة . فإذا وجدت مجموعتان مختلفتان من العناصر ، وطبقت عليهما عمليات أو علاقات وكان لهما نفس الخصائص ، فإننا نقول أن للمجموعتين نفس البنية.

ومفتاح فهم البنية يكمن في دراسة الأنظمة الرياضية ذات العمليات . فالزمرة مثلا نظام رياضي ، والحقل كذلك نظام رياضي . فالنظام الرياضي يتضمن مجموعة من العناصر عرفت عليها عملية واحدة ( كالزمرة مثلا ) أو اكثر ( كالحقل مثلا ) .

وفي الرياضيات هناك مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية ويقام الهيكل على هذه المجموعات بتعريف عمليتي الجمع والضرب وعلاقة الترتيب . ويتكون الهيكل الهندسي من المسلمات والتعاريف التي تحدد العلاقات بين العناصر وتنشأ منها النظريات .

والبنية الرياضية هي بنية افتراضية مبنية على المسلمات ومن أمثلتها بنية اقليدس في الهندسة . وتبدأ البنية الافتراضية بتعابير أو مصطلحات تقبل دون تعريف ( مثل النقطة ، الخط المستقيم ، المستوي ، ) ويربط بين هذه التعابير أو المصطلحات جمل رياضية تسمى مسلمات . وباستعمال قواعد المنطق الفرضي نحصل على جمل رياضية مبرهنة تسمى نظريات . وهذه النظريات توضح خصائص المصطلحات غير المعرفة ، والمصطلحات المعرفة ، وكذلك توضح خصائص العناصر الأولية وصفاتها الأساسية .

وضع الرياضيون خصائص للمسلمات لكي تستطيع أن تؤدي دورها في لحم البنية الرياضية . واهم هذه الخصائص : التوافق والاستقلال والاكتمال والتصنيف .

خاصية التوافق تعني عدم التناقض بين المسلمات نفسها أو بين النظريات المشتقة منها أو عدم وجود قضية ونفيها صائبتان معا أو خاطئتان معا . وتوفر هذه الخاصية في البنية الرياضية أمر ضروري .

خاصية الاستقلال تعني أن تكون كل مسلمة من المسلمات مستقلة عن غيرها ، أي لاتكون المسلمة نتيجة يمكن التوصل إليها أو برهنتها من المسلمات الأخرى . ومتى كانت جميع المسلمات مستقلة بعضها عن بعض سمي النظام الرياضي نظاما مستقلا . ومع أن خاصية الاستقلال ليست ضرورية إلا انه يفضل أن يكون النظام ذا عدد قليل من المسلمات .

أما خاصية الاكتمال فتعني أن مجموعة المسلمات كافية للبرهنة على أية قضية أو نظرية تربط بين المصطلحات والتعابير ( العناصر الأولية ) في البنية الرياضية .

الخاصية الرابعة التصنيف أو الانعتاقية وتعني أن النماذج المختلفة لنفس البنية الافتراضية متماثلة . وإذا كانت نماذج أية بنية متماثلة فان البنية الافتراضية انعتاقية ، أي أن تفسيرها من خلال نماذج مختلفة يبقى تفسيرا واحدا.